Kontraktion Mathematik Beispiel Essay

Eine Kontraktion ist in der Analysis und verwandten Gebieten der Mathematik eine Abbildung einer Menge M auf sich selbst, die die Abstände zwischen zwei beliebigen Punkten von M mindestens so stark verringert wie eine zentrische Streckung mit einem festen Streckungsfaktor λ<1, also die Menge bei mehrfacher Anwendung „in sich zusammenzieht“ (kontrahiert). Anschaulich erscheint klar, dass durch fortgesetzte Anwendung einer solchen Kontraktion die Ausgangsmenge nach und nach auf eine „beliebig kleine“ Teilmenge abgebildet wird und sich schließlich (könnte man nur unendlich oft abbilden) auf einen Punkt zusammenzieht. Dass diese intuitive Vermutung in sehr allgemeinen Fällen in einem präzisierten Sinn zutrifft, lässt sich mathematisch beweisen. Sätze, die Aussagen machen über die Existenz des „Grenzpunktes“, auf den die Kontraktion zustrebt, seine Berechnung und den Näherungsfehler nach endlich vielen Schritten dieser Annäherung, werden als Kontraktionssätze oder Fixpunktsätze bezeichnet.

Definition

(M,d) sei ein metrischer Raum. Eine Abbildung heißt Kontraktion, wenn es eine Zahl gibt, mit der für alle gilt:

.

Man nennt die Abbildung dann auch kontrahierend oder auch kontraktiv auf M.

Anders ausgedrückt: Die Abbildung φ ist genau dann eine Kontraktion, wenn sie

  1. Die Menge M in sich abbildet und
  2. eine Lipschitz-Bedingung mit der Lipschitz-Konstanten erfüllt.

Anwendung: Reeller Kontraktionssatz

Eine kontrahierende Selbstabbildung f eines IntervallesI = [a,b] besitzt genau einen Fixpunkt ξ. Dieser kann durch die Iterationsfolge mit einem beliebigen Startwert berechnet werden. Für die Glieder der Iterationsfolge gilt die Fehlerabschätzung .

Eine Verallgemeinerung dieses Satzes ist der Fixpunktsatz von Banach.

Beispiele

  • Sei , f eine reellwertige Funktion auf X, die auf X die Lipschitz-Bedingung mit λ < 1 erfüllt. Wenn es zu dem Startpunkt ein Intervall gibt, auf dem | f(x0) − x0 | < | (1 − λ)r | ist, dann ist die Funktion f eine kontrahierende Selbstabbildung von I. Ein Fixpunkt in I kann durch die Rekursionsfolge aus dem reellen Kontraktionssatz (s.o.) berechnet werden.

Literatur

  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 5. Auflage. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2

von Reiner Bergner

Überprüfen wir das Gedankenexperiment zur Längenkontraktion. Der Gedanke ist, wenn wir uns mit 0,5 c von Punkt A zum Punkt B bewegen, dann verkürzen sich die Längen und gleichermaßen dehnt sich die Zeit. Man kann auch andere Geschwindigkeiten nehmen, es wird dadurch aber nicht besser. Der Weg von A nach B soll einfach 10 Lichtjahre sein.

Wir haben nun die Geschwindigkeit und den Weg, jetzt fehlt uns noch eine „schöne“ Formel die uns sagt wie kurz oder lang unser Weg sein wird. Und die liefert uns die SRT. Die Berechnung teilt sich in mehrere Rechenwege. Erst muss der k-Faktor ermittelt
 werden erst dann wird die Längenkontraktion bestimmt. (Was immer der k-Faktor ist? K-Faktor hört sich an wie Kalfaktor.)

Der k-Faktor:

k= 1/Wurzel aus (1-v²/c²)

k= 1/Wurzel aus (1-0,25) ; k= 1,1547005 ~ k= 1,155

Nun muss ich nur noch die 10 Lichtjahre durch den k-Faktor dividieren und ich habe die vor mir liegende verkürzte Strecke errechnet. Weg/k-Faktor = Längenkontraktion 10/1,155 = 8,6580086 ~ 8,66 Jahre!  Obwohl ich „nur“ mit 0,5c fliege brauche ich „nur“ 8,66 Jahre und das Licht fliegt mit c und benötigt 10 Jahre!? Wer sich zutraut mir dies zu erklären soll es tun! Hier besteht kein Erklärungsbedarf sondern es ist ganz dringend eine Entsorgung der SRT erforderlich.

Zusammenfassend  heißt das also, wenn ich mit 0,5c von A nach B reise dann benötige ich nur 8,66 Jahre. Die ursprüngliche Strecke von 10 Jahren ist durch meine Geschwindigkeit einer Kontraktion unterlegen und ist auf 8,66 Jahre geschrumpft.  Auf Grund einiger Rechenoperationen verkürzt sich die Strecke ohne Herleitung und Bezug zur Natur?  Rechnen wir mal weiter, nach der Hälfte der verkürzten Strecke von 8,66 Jahre rechnen wir noch mal nach um zu sehen ob wir richtig liegen.  Die Hälfte = 4,33 Jahre, der k-Faktor bleibt gleich da die Geschwindigkeit dieselbe ist.  Weg/k-Faktor = restliche Strecke 4,33/1,155 = 3,7489177 Jahre!  Woher kommt die neue Längenkontraktion? Rechnen wir weiter.

3,7489177/1,155 = 3,2458161 Jahre! Wieder eine Längenkontraktion, ohne dass ich die Geschwindigkeit veränderte. Ich brauche mich also nur hinsetzen und rechnen und in 10 Minuten habe ich den Punkt B erreicht. Es stellt sich die Frage was ein Beobachter sieht, wenn ich rechne? Macht unser Raumschiff nach jeder Rechnung einen deutlich wahrnehmbaren Sprung? Nach der zweiten Rechnung hat unser Raumschiff schon c, also Lichtgeschwindigkeit, nach der dritten Rechnung 1,5 c! Prima! Eine SRT, die die Lichtgeschwindigkeit als maximale Grenze der Bewegung bestimmt, überspringt mit Leichtigkeit diese Hürde. Im nächsten Schritt habe ich schon 2c und so weiter und so fort. So habe ich kein Problem, das Universum zu bereisen, und bin Abends wieder zu Hause. Lassen wir den Stift glühen!

Wenn ich aber die richtige Rechenweise anwende, kommt ein richtiges Ergebnis heraus. Weg/Geschwindigkeit = Reisezeit 10/0,5 = 20 Jahre! Dieses Ergebnis stimmt mit der Natur überein, denn mit der halben Lichtgeschwindigkeit c brauche ich für 10 Lichtjahre genau 20 Jahre, nicht mehr und nicht weniger. Machen wir es so wie vorhin, nach der Hälfte der Strecke überprüfe ich ob alles seine Richtigkeit hat.  Restlicher Weg/Geschwindigkeit = Restliche Reisezeit 5/0,5 = 10 Jahre. Hier stimmt die Rechnung mit der Natur überein.

0 thoughts on “Kontraktion Mathematik Beispiel Essay”

    -->

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *